中国科学院研究生院
2012年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称:高等数学(乙)
考生须知:
1.本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟。
2.所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题(本题满分40分,每小题5分。请从每个题目所列的四个选项中选择一个适合放在空格中的项,并将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上,直接填写在试题上无效。每
题的四个备选项中只有一个是正确的,不选、错选或多选均不得分。)
(1)设函数f(x)在x0处可导且导函数连续,lim
f(x)2
1,则f(0)()。
(A)1(B)1
x03xsinx
(C)2(D)2
(2)已知f()2,[f(x)f(x)]sinxdx5,则f(0)()。
0
(A)2(B)3(C)4(D)5
(3)
x2
x(x1)2
dx=()。
1
x21
(A)ln
C
x1
2
(B)
ln|x1|
x2
C
x1
1
(C)ln
C
x1
(D)
ln(1x)2x1C
(4)设函数F(x,y)关于x和y有一阶偏导数,且Fx(0,0)1,Fy(0,0)2,令
zF(uv,veu),
uarctant,
vsint,则dz
dt
t0
()。
(A)1(B)0(C)2(D)1
(5)已知函数y
则()。
f(x)对一切x满足xf(x)3x[f(x)]21ex,若f(x)0(x
0)
(A)f(x0)是f(x)的极大值(B)(x0,f(x0))是曲线y
f(x)的拐点
(C)f(x0)是f(x)的极小值(D)f(x0)不是f(x)的极值
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(6)设闭曲线L:
x2(y1)22取逆时针方向,则曲线积分□xdyydx
()。
(A)(B)2(C)2(D)22
(7)使得积分1sinxdx(0)收敛的的最大取值范围是()。
0x
(A)02
(B)01
(C)2
(D)1
(8)下列级数收敛的是()。
11111111
(A)nlnn
(B)1
2345678
(1)nsinn111n2
(C)n2(D)2n(1n)
n1
n1
二、(本题满分10分)求微分方程y2y2y4t2的通解。
三、(本题满分10分)设D{(x,y)y0,x2y21,x2y22x},计算二重积分 Dxydxdy。
四、(本题满分10分)设在三维空间中某平面满足:(1)与xy坐标平面垂直,(2)过z轴,
(3)与(x2)2(y2)2z21相切,求该平面的方程。
五、(本题满分10分)
设f(x)anx n1,其中an满 1
an1,1 n。求2f(x)d 0
六、(本题满分10分)计算曲线积分Ixln(x2y21)dxyln(x2y21)dy,其中 L
线L是定义域内第一象限(含坐标轴)中从点(2,0)到(0,2)的分段光滑曲线。
七、(本题满分10分)设曲面为{(x,y,z)|zx2y2(0z1)}的外侧,求曲面积分
x2dydz。
八、(本题满分10分)求曲面xyz1上在第一卦限内,距离坐标原点最近的点处的切平面方程。
九、(本题满分10分)求微分方程yy(y)2y2lny的通解。
十、(本题满分10分)设函数f(x)在区间[A,B]上连续但不一定可导,AabB。证
bf(xh)f(x)
明:lim
h0
dxf(b)f(a)。
h
十一、(本题满分10分)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上有二阶导数。证明:存在
abba2
c(a,b)使得f(a)2f2f(b)f(c)2。
bb
十二、(本题满分10分)设f(x)在[a,b]上连续,且af(x)dx0,axf(x)dx0。证明:在(a,b)上至少有两点x1,x2,使得f(x1)f(x2)0。